M-Schätzer (von Maximum-Likelihood-Artig) stellen eine Klasse von Schätzfunktionen dar, die als Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode angesehen werden können. M-Schätzer sind im Vergleich zu anderen Schätzern wie z. B. den Maximum-Likelihood-Schätzern robuster gegen Ausreißer.

Dieser Artikel behandelt M-Schätzer zur Ermittlung des Lageparameters.

Herleitung durch Verallgemeinerung der Maximum-Likelihood-Methode

Das Prinzip von Maximum-Likelihood-Schätzern beruht darauf, die Funktion

mit entsprechender Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion f_X(x) in Abhängigkeit von Θ zu minimieren.

Die Idee bei M-Schätzern ist, die Funktion durch eine Funktion ρ(x;Θ) zu ersetzen, welche weniger sensitiv auf Ausreißer reagiert. Aufgabe ist es also, den Ausdruck

in Abhängigkeit von Θ zu minimieren, bzw. die Gleichung

mit

zu lösen.

Jede Lösung dieser Gleichung wird M-Schätzer genannt.

Implizite Definition

Sei F eine beliebige Verteilungsfunktion und ψ eine gerade und monoton wachsende Funktion ungleich 0. Dann ist μ_ψ(F) definiert als die Lösung μ = μ_ψ(F) der Gleichung

Beachtet werden muss, dass abhängig von der Wahl von ψ und F es entweder keine, eine oder mehrere Lösungen geben kann. Im Falle einer konkreten Stichprobe wird μ = μ_ψ(F_n), die Lösung von

M-Schätzer genannt.

Geeignete Funktionen ρ

Im folgenden sind die x_i gemäß

standardisiert, um Skaleninvarianz zu erreichen. S_n stellt hierbei einen Streuungschätzer dar, für den meist der MAD (Median Absolute Deviation) verwendet wird.

Die Gewichtsfunktionen im folgenden Bild zeigen die Unterschiede zwischen den Schätzern auf: bei Huber-k haben auch extreme Beobachtungen ein geringes Gewicht, beim Hampel-, Andrews wave- und Tukey’s biweight-Schätzer wird extremen Beobachtungen das Gewicht Null zugeordnet.

Robustheit

Bei geeigneter Wahl von ψ (gerade, beschränkt und monoton steigend) haben M-Schätzer einen Bruchpunkt von ε ^* = 0.5

Numerische Lösungsmethode

Für viele Funktionen ρ lässt sich keine explizite Lösung angeben, sie muss daher numerisch berechnet werden. Wie üblich zur Berechnung von Nullstellenproblemen bietet sich auch hier das Newton-Raphson-Verfahren an, und es ergibt sich folgende Iterationsvorschrift, wobei wiederum  :

Als geeigneter Startwert μ₀ wird meist der Median verwendet. Dieses Iterationsverfahren konvergiert sehr schnell, meist sind zwei bis drei Iterationsschritte ausreichend.

W-Schätzer

W-Schätzer sind M-Schätzern sehr ähnlich und liefern im Normalfall gleiche Ergebnisse. Der einzige Unterschied liegt in der Lösung des Minimierungsproblems. W-Schätzer werden meist bei der robusten Regression eingesetzt.

Es wird die Wichtungsfunktion

mit

eingeführt, mit deren Hilfe das Minimierungsproblem umgeschrieben werden kann in

Einsetzen der Definition von z_i, ausmultiplizieren und umstellen ergibt schließlich über die Fixpunktgleichung

die Iterationsvorschrift

Verweise

Sogenannte RANSAC-Algorithmen

Literatur

• Robert G. Staudte: Robust estimation and testing. Wiley, New York [u. a.] 1990, ISBN 0-471-85547-2.
• Rand R. Wilcox: Introduction to robust estimation and hypothesis testing. Academic Press, San Diego, Calif. [u. a.] 1997, ISBN 0-12-751545-3.